Introdução 

O principal pacote para estatística é Statistics . Vamos também carregar outros pacotes que serão úteis em determinados pontos. 

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A lista de comandos do pacote Statistics pode ser encontrada através do comando ? Statistics[Commands] . 

 

Problema. Um novo cassino começou a operar e proprôs os seguinte jogo. A banca tem três cartas: um ás e dois valetes. As três cartas são colocadas viradas para baixo de forma aleatória. Você deve escolher uma delas. Se a carta escolhida for um ás, você ganha US$10.000,00, se for um valete, você paga US$10.000,00. Porém, antes de abrir a carta escolhida, a banca abre uma das outras duas cartas e mostra onde está um valete, depois lhe pergunta, você quer continuar com a mesma carta originalmente escolhida ou prefere trocar para a outra carta que ainda está fechada. Qual opção abaixo é a mais correta. 

a) Você troca de carta pois a chance de ganhar um ás passa a ser de dois em três. 

b) Você não troca de carta pois é irrelevante para aumentar a chance de ganhar, que é um em três. 

c) Você troca de carta pois a chance de ganhar um ás passa a ser maior do que um em três, porém menor do que dois em três. 

Solução 

Este problema tem uma história muito interessante. Ele apareçeu pela primeira vez em uma carta de um estatístico e foi usado em um programa de TV pelo apresentador Monty Hall. O problema do Monty Hall ficou famoso quando foi usado por Marilyn vos Savant em uma coluna de perguntas em uma revista americana chamada Parade. A solução dada por Marilyn dizia que se você trocar de carta, a probabilidade de ganhar é 2/3 e se continuar com a mesma carta, a probabilidade de ganhar é 1/3. Em função desta resposta, Marilyn recebeu em torno de 10.000 cartas de leitores indignados, dizendo que ela estava errada e que não havia a menor necessidade de trocar de carta, pois isto não aumentava a chance de ganhar. Cerca de 1.000 cartas eram de matemáticos e em especial, o famoso matemático Paul Erdős também estava no grupo dos que achavam que não adiantava trocar de carta. Acontece que a Marilyn já tinha aparecido no Guiness como o recorde de melhor QI de todos os tempos. Depois destas informações, você prefere a opção a) ou b)? Parece que a opção c) é carta fora do baralho. Se você não trocar de carta, a probabilidade de ganhar é 1/3 independentemente do que o apresentador fizer. Agora vamos calcular a probabilidade de PERDER caso você opte pela estratégia de trocar de carta. Se você tiver escolhido o ás inicialmente  e trocar de carta, você perde. Se você tiver escolhido um valete, e trocar de carta você ganha, pois o outro valete foi revelado pela banca. Portanto, a probabilidade de PERDER neste caso é 1/3; a probabilidade de ganhar é 2/3. 

Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidades 

Distribuição de probabilidades contínua 

Uma variável aleatória é uma variável cujo valor é determinado de modo aleatório dentro de um espaço amostral. Cada valor de tem uma probabilidade associada, que é descrita por uma distribuição de probabilidades. Uma distribuição de probabilidades pode ser discreta ou contínua dependendo da natureza do espaço amostral. A distribuição normal é uma distribuição de probabilidades contínua (o espaço amostral é o conjunto dos números reais) enquanto que a distribuição binomial é discreta (o espaço amostral é um subconjunto do números inteiros). A distribuição normal com média e desvio padrão é dada por 

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(2.1.1)

 

cujo gráfico é 

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O comando PDF é um acrônimo de Probability Density Funtion e retorna a expressão analítica de uma distribuição de probabilidades. O comando retorna a distribuição normal de média e desvio padrão . A figura acima mostra o gráfico da distribuição normal de média 10 e desvio padrão 1. Uma distribuição de probabilidades deve sempre satisfazer as seguintes propriedades: (1) os valores da distribuição tem que estar no intervalo e (2) a área embaixo da curva deve ser 1. Note que 

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(2.1.2)

 

Uma maneira alternativa de fazer o gráfico é usando diretamente a partir distribuição de probabilidades (sem construir a expressão analítica)  é usando o comando DensityPlot do pacote Statistics : 

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Uma variável aleatória é definida através do comando RandomVariable(dist) , cujo único argumento dist deve ser uma distribuição de probabilidades. Por exemplo, vamos definir uma variável aleatória com uma distribuição normal de média 10 e desvio padão 1: 

Para obter valores desta variável, devemos usar o comando Sample(X,n) onde X é a variável aleatória e n é o tamanho do vetor resposta. Por exemplo: 

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(2.1.3)

 

A média dos valores do vetor linha (média amostral) deve ser aproximadamente 10, de fato 

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(2.1.4)

 

No entanto, o valor correto da média associada à distribuição de probabilidades é calculado com o comando Mean : 

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(2.1.5)

 

e o desvio padrão através do comando StandardDeviation : 

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(2.1.6)

 

Note que o comando Sample retorna um vetor linha como resposta. O Maple não mostra as entradas se o vetor for grande, pois exite um limite de corte. Para aumentar o limite, é necessário usar o comando interface (rtablesize=1000), por exemplo, para mostrar até 1000 entradas. 

A lista das distribuições contínuas implementas no Maple é 

Beta Cauchy ChiSquare Erlang Error Exponential FRatio Gamma Gumbel InverseGaussian Laplace Logistic LogNormal Mawell Moyal NonCentralBeta NonCentralChiSquare NonCentralFRatio NonCentralStudentT Normal Pareto Power Rayleigh StudentT Triangular Uniform VonMises Weibull  

 

Exercício 

Suponha que uma distribuição de probabilidades contínua tem a forma onde é uma constante e .  (a) Determine o valor de . (b) Calcule a probabilidade de estar entre 1/3 e 1. 

 

Se é uma distribuição de probabilidades contínua, a função de distribuição acumulada é definida como 

 

Por exemplo, a função de distribuição acumulada da distribuição de probabilidades é 

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(2.1.7)

 

cujo gráfico é 

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A função de distribuição acumulada sempre começa do 0 ( e termina no 1 (. Várias outras terminologias são usadas como função de distribuição cumulativa, função de distribuição, função densidade, entre outras. Em Inglês, usa-se o nome cumulative distribution function (CDF). 

Distribuição de probabilidades discreta 

Vamos ver um exemplo de uma variável aleatória com uma distribuição de probabilidades discreta. Vamos definir como uma variável aleatória com a distribuição binomial com tentativas e probabilidade de sucesso : 

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A distribuição binomial tem com espaço amostral os números inteiros de 0 a . Ela tem a seguinte interpretação. Suponha que temos uma moeda cuja probabilidade de dar CARA é . Vamos supor que CARA é sucesso.  O valor é a probabilidade de termos CARAS em tentativas. Por exemplo 

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(2.2.1)

 

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(2.2.2)

 

A lista é interpretada da seguinte forma. Cada elemento da lista é o número de CARAS em 40 jogadas da moeda. Note que a maioria dos números da lista está perto de 20, pois a probabilidade de dar 20 CARAS em 40 jogadas é maior do que qualquer outro número de CARAS. A distribuição de probabilidades é encontrada usando o comando ProbabilityFunction(Y,x) , onde é a variável aleatória e é um número inteiro entre 0 e . O gráfico da distribuição é encontrado da seguinte maneira: 

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A média e o desvio padrão de são 

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(2.2.3)

 

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(2.2.4)

 

A distribuição normal e a distribuição binomial têm uma forte correlação. Vamos fazer o gráfico sobreposto destas distribuições: 

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>

 

Podemos ver que os pontos da distribuição binomial estão muito próximos da curva da distribuição normal, porém não exatamente. Por exemplo, para : 

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(2.2.5)

 

A distribuição de probabilidades pode ser aproximada pelo histograma ( histogram ) de grandes amostras, por exemplo 

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A lista de distribuições discretas implementadas no Maple é 

Bernoulli Binomial DiscreteUniform EmpiricalDistribution Geometric Hypergeometric NegativeBinomial Poisson ProbabilityTable  

Exercícios 

1. (a) Gere uma amostra com 500 valores da variável (definida acima) e salve em uma lista . (b) Calcule o número de ocorrências do número 20 na amostra do ítem (a). (c) Seja o número de ocorrências do número na lista . Faça o gráfico dos valores de para de 0 a 40. (d) Qual é a relação do gráfico do ítem (c) e o gráfico da distribuição de probabilidades? Faça o histograma de e descreva a relação entre o histograma o gráfico do ítem (c). 

 

2. Considere uma fábrica de garrafas. Suponha que uma máquina desta fábrica produz 5% de garrafas defeituosas. Suponha que selecionamos aleatoriamente uma amostra de 20 garrafas produzidas por esta máquina. (a) Qual é a probabilidade da amostra conter 3 garrafas defeituosas? (b) Qual é a probabilidade da amostra ter mais do que 3 garrafas defeituosas? 

 

3. Um laboratório está testando duas vacinas. A probabilidade da primeira vacina gerar reação alérgica é de 0.5% e da segunda é 2.8%. A primeira é testada em um grupo de 230 pessoas e a segunda em um grupo de 100 pessoas. Qual é a probabilidade de que, no total, 4 pessoas tenham reação alérgica? 

 

4. Suponha as notas de um exame nacional tem distribuição normal com média 7.0 e desvio padrão 1.2. Uma amostra aleatória de 100 estudantes é selecionada. Qual é a probabilidade de que a nota mais baixa do grupo dos 20% melhores seja menor do que 7.8? 

 

 

Se é uma distribuição de probabilidades discreta, a função distribuição acumulada (discreta) é definida como 

 

Por exemplo, a função distribuição acumulada da variável aleatória é 

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(2.2.6)

 

O gráfico de é 

>

 

 

Gerando novas distribuições de probabilidades contínuas 

Para construir uma nova distribuição de probabilidades contínua (diferente das distribuições implementadas no pacote Statistics, veja Distributions ), devemos primeiro definir uma função no Maple que descreve a distribuição de probabilidades, por exemplo, seja a função  

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(2.3.1)

 

cujo gráfico é 

>

 

A função   satisfaz as condições para ser uma distribuição de probabilidades, pois   está no intervalo [0,1] para todo e a área embaixo da curva é 1, como podemos verificar com o seguinte comando 

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(2.3.2)

 

Para criar uma nova distribuição de probabilidades contínua, devemos usar o comando Distribution com a seguinte sintaxe 

>

(2.3.3)

 

A distribuição é um módulo ( module ). Qualquer outro resultado que não seja "module( ) option Distribuion, ..." indica que houve um erro. Agora podemos usar a distribuição mydist como se fosse qualquer outra distribuição de probabilidades contínua do Maple. Por exempo, podemos definir uma nova variável aleatória coma distribuição mydist e fazer uma amostragem: 

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(2.3.4)

 

Podemos calcular a média e o desvio padrão: 

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(2.3.5)

 

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(2.3.6)

 

O desvio padrão pode ser confirmado através da definição 

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(2.3.7)

 

 

Exercício 

Seja a função no intervalo [0,2] e 0 fora deste intervalo. (a) Defina uma distribuição de probabilidades contínua com . (b) Defina uma variável aleatória associada e faça uma amostragem de tamanho 11. (c) Calcule a média e desvio padrão de . (d) Seja uma variável aleatória com a distribuição de probabilidades . Defina a variável aleatória . Faça o gráfico da curva de distribuição de probabilidades de e mostre que a área embaixo da curva é igual a 1. 

Gerando novas distribuições de probabilidades discretas 

Para definir uma nova distribuição de probabilidades discreta, é necessário fornecer o espaço amostral e as probabilidades associadas a cada ponto do espaço amostral. Por exemplo, suponha que o espaço amostral seja . Suponha que a probabilidade associada ao ponto seja .  Temos que especificar quais são as probabilidades associadas a cada ponto através de uma função da seguinte maneira. 

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(2.4.1)

 

>

(2.4.2)

 

Note que o valor de cada probabilidade está no intervalo [0,1] e além disso a soma das probabilidades é 

>

(2.4.3)

 

De fato, toda distribuição de probabilidades discreta tem que satisfazer estas duas condições: (1) o valor de cada probabilidade deve estar no intervalo [0,1] e (2) a soma das probabilidades deve dar 1. Para definir a distribuição de probabilidade, devemos usar o comando Distribution com a seguinte sintaxe: 

onde indica a os valores da variável usada em . No caso acima, a função que descreve os pontos do espaço amostral é . Neste caso, vai assumir os valores 1, 2, ..., .  Vamos agora definir uma variável com esta nova distribuição de probabilidade e fazer uma amostragem 

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>

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(2.4.4)

 

A média e o desvio padrão são 

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(2.4.5)

 

>

(2.4.6)

 

 

Exercícios 

1. Suponha que o espaço amostral seja o conjunto dos pontos 1, 2, 3, ..., . Seja  uma distribuição de probabilidades discreta tal que a probabilidade associada ao ponto do espaço amostral seja . (a) Determine o valor de (b) Faça o gráfico da distribuição de probabilidades. (c) Faça o gráfico da função de probabilidades acumulada. (d) Calule onde é uma variavel aleatória com distribuição . (e) Calule . 

 

2. Suponha que o espaço amostral seja o conjunto de pontos , . Defina uma distribuição de probabilidades discreta através do comando Distribution tal que a probabilidade associada ao ponto do espaço amostral seja . Faça uma amostragem com 11 pontos, calcule a média e o desvio padrão de uma variável aleatória com esta distribuição de probabilidades e faça o gráfico da distribuição de probabilidades. 

Solução 

>

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(2.4.1.1.1)

 

>

>

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(2.4.1.1.2)

 

>

(2.4.1.1.3)

 

>

(2.4.1.1.4)

 

>

 

Definindo uma variável aleatória discreta a partir de uma amostra discreta com pesos 

Podemos definir uma variável aleatória discreta sobre uma amostra numérica da seguinte forma. Suponha que a amostra e os repectivos pesos sejam 

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(2.5.1)

 

>

(2.5.2)

 

Para definir a variável aleatória discreta devemos usar o comando EmpliralDistribution dentro do comando RandomVariable da seguinte forma: 

Podemos agora usar qualquer comando do pacote Statistics que usem variáveis aleatórias. Por exemplo, amostragem, média e desvio padrão: 

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>

>

>

 

 

	(2.5.3)

 

Se tivemos uma amostra de números sem os pesos, podemos definir os pesos de cada elemento usando a frequência de ocorrência de cada elemento. Para definir uma variável aleatória baseada nestes pesos induzidos pela frequência, usamos também o comando EmpiricalDistribution da seguinte forma: 

>

(2.5.4)

 

Podemos agora usar qualquer comando do pacote Statistics que usem variáveis aleatórias. Por exemplo, amostragem, média e desvio padrão: 

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>

>

 

 

	(2.5.5)

 

Note que o segundo exemplo é exatamente igual ao primeiro. 

Geração de números aleatórios sem o pacote Statistics 

O principal comando para gerar números inteiros aleatórios é o comando rand . Por exemplo, vamos gerar uma lista de números inteiros aleatórios: 

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(2.6.1)

 

A partir de , podemos gerar uma lista de números racionais aleatórios entre e 1, da seguinte forma: 

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(2.6.2)

 

A média e o desvio padrão podem ser calculados com os comando Mean e StandardDeviation do pacote Statistics: 

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(2.6.3)

 

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(2.6.4)

 

Um comando mais interessante para gerar estruturas com números aleatórios é Generate que está no pacote RandomTools . 

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(2.6.5)

 

Para gerar uma lista (list) com 5 elementos do tipo ponto-flutuante (float) no intervalo (range) entre 10 a 20, o comando é 

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(2.6.6)

 

Para gerar uma matrix com números aleatórios:  

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(2.6.7)

 

Média, Moda e Mediana 

Se tivermos uma sequência de números , podendo ter repetições, a média ( Mean ) é definida como 

 

A média também é usualmente chamada de expectância. 

 

A moda ( Mode ) é o número que mais aparece na sequência. Por exemplo, a moda de 1,2,2,5,6 é 2. Por outro lado, a sequência 1,3,3,5,5,6 tem duas modas: 3 e 5, neste caso é a sequência é chamada bimodal. Se houver mais do que duas modas, normalmente usamos o termo multimodal e se não há repetições, usamos o termo sequência amodal (O comando Mode retorna todos os elementos). Uma sequência que tem uma única moda também é chamada unimodal. 

 

A mediana ( Median ) é o valor numérico tal que metade dos números da sequência são menores do que e metade dos números são maiores que . Por exemplo, a mediana de 1,2,2,5,6,7,8  é , pois três numeros (1,2,2) são menores do que 5 e três números (6,7,8) são maiores do que 5. Por outro lado, a mediana de 2,5,6,7 é , pois como não pode estar na sequência ele é o valor médio entre 5 e 6.  

 

As definições de média, moda e mediana dadas acima usaram uma amostra de pontos, por isto, elas também são chamadas de média amostral, moda amostral e mediana amostral. Estes mesmos conceitos podem ser aplicados para variáveis aleatórias com distribuições de probabilidades discretas ou contínuas. Estas definições são estendidas devido ao contexto. Se é uma variável aleatória em um espaço amostral discreto constituído pelo conjunto de pontos (sem repetições, podendo ser infinito), a média é definida como 

 

onde é a probabilidade da variável ter o valor . Se o espaço amostral é a reta real, a média é definida como 

 

 

Quando o espaço amostral é a reta real, a moda é o número (ou números) na reta real cujo valor é um máximo global da distribuição de probabilidades. As vezes, máximos locais também são chamados de moda. 

 

A mediana é definida como o valor tal que 

e  

O valor de não é único necessariamente. Se para todo , o valor de é único e geometricamente corresponde ao ponto da reta real que divide a área embaixo da curva da distribuição de probabilidades exatamente no meio.  

 

Por exemplo, a distribuição de probabilidades contínua (chi-quadrado ou ChiSquare ) com graus de liberdade tem o seguinte gráfico 

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>

 

Vamos calcular a média, moda e mediana para . 

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(2.7.1)

 

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Vamos conferir o resultado para a media usando a definição. 

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(2.7.2)

 

Vamos conferir o resultado para a moda. 

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(2.7.3)

 

Note que o máximo ocorre no ponto , que é a moda. Vamos conferir o resultado da mediana. 

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(2.7.4)

 

Desvio Padrão, Variância, Assimetria e Curtose 

Se é uma variável aleatória em um espaço amostral discreto constituído pelo conjunto de pontos (sem repetições, podendo ser infinito) com média , a variância ( Variance ) é definida como 

 

onde é a probabilidade da variável ter o valor . Se o espaço amostral é a reta real, a média é definida como 

 

Uma forma alternativa de definir variância é como a média de uma nova variável aleatória definida como , isto é,  

 

Por exemplo, vamos checar que esta segunda definição usando uma variável aleatória com a distribuição de probabilidades ChiSquare de 5 graus de liberdade: 

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(2.8.1)

 

O comando Variance quando aplicado em uma amostra ou lista de dados calcula a variância usando estimativa imparcial ou não-viciada (unbiased estimation of variance), cuja fórmula é 

 

 

O desvio padrão ( StandardDeviation ) é definido como 

 

O desvio padrão é uma medida do tamanho da dispersão do pontos de uma amostra em torno da média. Se a dispersão for pequena, o desvio padrão é pequeno e vice-versa. O comando StandardDeviation quando aplicado em uma amostra ou lista de dados usa a estimativa imparcial. Para encontrar a estimativa parcial, devemos multiplicar o resultado por . 

 

Exercícios 

1. Considere o gráfico de uma distribuição Normal de média e desvio padrão Mostre que a distância horizontal do ponto médio do gráfico até o ponto de inflexão (ponto onde a derivada segunda se anula) é . 

 

2. É possível mostrar de maneira geral que  

 

Verifique no Maple que este fato é verdeiro para a uma variável com uma distribuição Normal de média e desvio padrão  

 

A assimetria ( Skewness ) é definida como 

 

A assimetria é uma medida da assimetria de uma distribuição de probabilidades: é positiva se for a distribuição de probabilidades for assimétrica à direita (veja o gráfico de ), caso contrário é negativa. Por exemplo, a distribuição de graus de liberdade é assimétrica à equerda para qualquer valor de . Note que a assimetria é positiva. 

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(2.8.2)

 

A distribuição Beta com o segundo parâmetro menor do que o primeiro é um exemplo de assimetria negativa 

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(2.8.3)

 

Note que o gráfico é assimétrico à esquerda: 

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A curtose ( Kurtosis ) é definida como 

A curtose mede o grau de agudez do pico da distribuição de probabilidades tomando a distribuição Normal como referência. A curtose da distribuição Normal é 3. Se a curtose for maior do que 3, a distribuição é mais concentrada em torno da média do que a distribuição Normal e se for menor do que 3, a distribuiçãoé mais espalhada do que a distribuição Normal. Note que 

>

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(2.8.4)

 

O menor valor possível da curtose é 1 que é obtida com a distribuição de probabilidades discreta de Bernoulli quando a probabilidade de sucesso é . 

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(2.8.5)

 

 

Exercício 

Moste usando Maple que a curtose da distribuição é sempre maior do que a curtose da distribuição normal. 

 

Percentil, Intervalo Interquartílico e Desvio Médio 

Considere uma distribuição de probabilidades contínua, por exemplo, a distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1. Qual é o valor de tal que a probabilidade de se obter um valor menor ou igual a seja de 30%? A resposta seria o valor de tal que a integral de a dê . A interpretação geométrica é a área embaixo da curva da distribuição de probabilidades de a é . Este valor de é chamado de trigésimo percentil. Para calcular um percentil, devemos usar o comando Percentile , no caso do trigésimo percentil, o comando é 

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>

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(2.9.1)

 

Vamos verificar o resultado 

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(2.9.2)

 

Este valor de também é chamado de terceiro decil, e também pode ser calculado com o comando Decile : 

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(2.9.3)

 

O intervalo interquartílico ( InterquartileRange ) é definido como a diferença entre o septagésimo-quinto () percentil e o vigésimo-quinto () percentil ou, equivalentemente, a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil ( Quartile ). Por exemplo, no caso da distribuição normal 

>

(2.9.4)

 

Só para confirmar: 

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(2.9.5)

 

>

(2.9.6)

 

O intervalo semi-interquartílico é definido como a metade do intervalo interquartílico. 

O desvio médio é definido como média de uma nova variável aleatória definida como , isto é,  

>

(2.9.7)

 

Podemos confirmar com os seguintes comandos: 

>

>

>

(2.9.8)

 

O desvio mediano absoluto é definido como médiana de uma nova variável aleatória definida como , isto é,  

Por exemplo: 

>

(2.9.9)

 

Podemos confirmar com os seguintes comandos: 

>

>

>

(2.9.10)

 

Função Geradora de Momentos e Função Característica 

A partir de uma variável aleatória podemos definir uma nova variável aleatória usando uma função . Podemos usar em os comandos que tem variáveis aleatórias como argumento, como o comando que calcula a média ou o desvio padrão.  Em particular, se a função for , teremos a nova variável aleatória defina como . A função geradora de momentos ( MomentGeneratingFunction ) é definida como a média de , isto é, 

 

O -ésimo momento ( Moment ) de uma variável aleatória e definido por  

 

e o -ésimo momento central ( CentralMoment ) de uma variável aleatória e definido como a média da variável aleatória , onde é a média de , isto é, por 

 

Por exemplo 

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>

>

(2.10.1)

 

Note que se expandirmos a função geradora de momentos em série de Taylor 

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(2.10.2)

 

podemos obter o -ésimo momento como o coeficiente do termo vezes o fatorial de . De fato 

>

>

(2.10.3)

 

De outra maneira 

>

 

 

 

 

	(2.10.4)

 

>

>

>

>

>

(2.10.5)

 

Exercício 

Seja para variáveis aleatórias independentes que podem assumir os valores 1 ou -1 com probabilidade uniforme. Escolha como sendo um número inteiro maior do que 10. (a) Mostre que a função geradora de momentos variável aleatória é . (b) Mostre que a função geradora de momentos da variável aleatória é . 

Solução 

(a) Vamos mostrar no caso em que : 

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>

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(2.10.1.1.1)

 

(b) 

>

>

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(2.10.1.1.2)

 

Exercício 

Um lote de 150 lâmpadas foi analisado e o desvio padrão dos tempos de vida útil foi 80 horas. Encontre o limite de confiaça de 95% para o desvio padrão. 

Teste de Hipóteses e Significância 

Para tomar decisões baseadas em dados estatísticos, formulamos uma hipótese cujo grau de significância deve testado. Quando formulamos uma hipótese sobre um valor de uma estatística, ela é chamada de hipótese nula quando a hipótese afirma que o valor é o valor médio da estatística. As hipóteses que afirmam que é a média é diferente (maior ou menor) que o valor escolhido na hipótese nula são chamadas de hipóteses alternativas. Se rejeitamos uma hipótese nula verdadeira, dizemos que cometemos um erro do tipo I (falso positivo). Se aceitarmos uma hipótese nula falsa, dizemos que cometemos um erro do tipo II (falso negativo). Para testar uma hipótese, a probabilidade máxima com a qual estamos arriscando cometer um erro do tipo I é chamada de nível de significância. Na prática, usamos um nível de significância de 5%. Para questões sensíveis, usamos um nível de significância de 1%.  

Exemplo 1. Temos uma moeda queremos testar a seguinte hipótese nula: a moeda é não-viciada. O teste consiste em jogar a moeda 100 vezes e anotar quantas vezes deu cara ou coroa. Como regra de decisão vamos seguir a seguinte estratégia: (1) aceitar a hipótese se o número de caras está entre 40 e 60 inclusive, (2) rejeitar a hipótese, caso contrário. Encontre o nível de significância desta regra de decisão? 

Solução: Vamos calcular a probabilidade de rejeitar a hipótese quando ela está correta (erro do tipo I). A probabilidade de se conseguir entre 40 e 60 caras incluindo os extremos em 100 lançamento da moeda é 

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(3.3.1)

 

A probabilidade de se cometer um erro do tipo I é 

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(3.3.2)

 

O nível de significância é portanto aproximadamente 3.52%. 

Métodos Bayesianos 

Análise de dados