Introdução 

Os comandos de Álgebra Linear estão agrupado no pacote LinearAlgebra, que deve ser carregado com o comando with: 

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Normalmente, terminamos o comando de carregar pacotes com dois pontos para que suas funções  não sejam mostradas, especialmente quando se trata do pacote LinearAlgebra , pois ele possui uma quantidade grande de comandos. Para ter acesso à lista das funções do pacote e suas respectivas páginas de ajuda, devemos dar o comando ?LinearAlgebra ou clique com o mouse em cima do comando LinearAlgebra (em vermelho acima e pressione F2). Vamos começar descrevendo como definir matrizes. 

Definindo uma Matriz 

A matriz mais simples de definir é a matriz quadrada nula 

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(1.2.1)

 

Se queremos definir uma matriz que tem poucos elementos não nulos, podemos atribuir cada entrada, por exemplo 

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(1.2.2)

 

Note que agora é a matriz 

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(1.2.3)

 

Matrix é o principal comando definir matrizes Por exemplo  

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(1.2.4)

 

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(1.2.5)

 

Podemos fazer agora operações algébricas com as matrizes A e B 

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(1.2.6)

 

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(1.2.7)

 

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(1.2.8)

 

Note que usamos o produto usual ''*'' (na tela aparace , porém é um comando opcional) para multiplicação por escalar, e usamos a multiplicação não-comutativa ''.'' (na tela aparerce . ) para produto de matrizes. O produto comutativo não pode ser usado para matrizes 

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Podemos também elevar uma matriz a um número inteiro. A potenciação por um número negativo quer dizer inversão da matriz e subsequente potenciação pelo módulo do número. Por exemplo (potência é feita com ^ ou ** por exemplo B^(-1)) 

Error, (in rtable/Product) invalid arguments

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(1.2.9)

 

Vamos testar se inv_B é o inverso de B 

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(1.2.10)

 

Para simplificar cada elemento da matriz é necessário usar o comando Map 

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(1.2.11)

 

Podemos modificar um elemento da matriz da seguinte forma 

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(1.2.12)

 

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(1.2.13)

 

Quando uma matriz tem uma regra de formação, é possível repassar esta regra como terceiro argumento do comando Matrix. Os dois primeiros argumentos devem ser as dimensões da matriz. Vamos definir uma matriz de dimensão 3x4, onde o elemento <i,j> é dado por (o operador é obtido entrando com - seguido de >, ou seja, ->): 

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(1.2.14)

 

Uma notação mais econômica para definir matrizes ou vetores é (as letras gregas devem se dadas por extenso: alpha, beta, gamma, delta. Para converter para notação matemática, escreva alpha e pressione ESC) 

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(1.2.15)

 

As linhas são separadas pela barra vertical |, e cada  linha deve ficar dentro de < ... >. Veja mais detalhes em ?MVshortcuts. As operações mais usuais com matrizes são o cálculo do traço, matriz transposta, determinante e posto 

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(1.2.16)

 

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(1.2.17)

 

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(1.2.18)

 

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(1.2.19)

 

Matrizes Especiais 

Existem várias matrizes especiais que são usadas com frequência em Álgebra Linear. Muitas delas têm comandos específicos para gerá-las. Os comandos para definir matrizes especiais são 

BandMatrix ,   BezoutMatrix ,   CompanionMatrix ,   ConstantMatrix , 

DiagonalMatrix ,    GenerateMatrix ,   GivensRotationMatrix ,   

HankelMatrix , HilbertMatrix , HouseholderMatrix , IdentityMatrix , 

JordanBlockMatrix ,   RandomMatrix ,   ScalarMatrix , SylvesterMatrix ,  

ToeplitzMatrix , VandermondeMatrix ,   ZeroMatrix .                                             

Na maioria dos casos, podemos prever o que o comando faz pelo nome. Por exemplo, para definir uma matriz nula 4x4 

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(1.3.1)

 

O comando DiagonalMatrix cria matrizes diagonal em blocos. A entrada deve ser uma lista de matrizes ou  escalares. 

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(1.3.2)

 

O comando GenerateMatrix é usado para construir uma matriz a partir dos coeficientes de um sistema de equações lineares. Considere o seguinte sistema 

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	(1.3.3)

 

Vamos fazer a seguinte atribuição dupla (a saída do comando GenerateMatrix é uma sequência com dois elementos) 

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(1.3.4)

 

Note que tanto A quanto v 

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(1.3.5)

 

foram atribuidos pelas repectivas matrizes. A equação matricial correspondente ao sistema de equações pode ser obtida da seguinte forma usando o comando Vector 

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(1.3.6)

 

A opção augmented=true é uma forma alternativa de usar o comando GenerateMatrix 

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(1.3.7)

 

Nesse caso podermos repassar o resultado diretamente para o comando LinearSolve 

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(1.3.8)

 

A variável é um parâmetro livre da solução (a variável pode ser aparecer como   ou   dependendo se o comando for usado mais do que uma vez).  

O comando RandomMatrix serve para gerar matrizes randômicas. Vamos gerar uma matriz randômica triangular com elementos inteiros no intervalo 1..10. 

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(1.3.9)

 

O comando randomize( ) usa a hora corrente como semente para o algoritmo de randomização.  

Autovalores e Autovetores  

Os comandos relativos a cálculo de autovetores e autovalores são 

CharacteristicMatrix ,   CharacteristicPolynomial ,    Eigenvalues ,  

Eigenvectors ,    MinimalPolynomial .    

Vamos definir uma matriz 

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(1.4.1)

 

O comando Eigenvectors fornece uma sequência de 2 elementos, o primeiro corresponde aos autovalores, e o segundo corresponde aos autovetores (com colunas) 

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(1.4.2)

 

Vamos selecionar o primeiro autovetor 

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(1.4.3)

 

e vamos confirmar que v1 de fato é o autovetor correspondente ao primeiro autovalor 

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(1.4.4)

 

Se a resposta do comando anterior não for o vetor nulo, use o comando simplify( ..., symbolic) que executa mais simplificações pois assume que a variáveis são reais 

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(1.4.5)

 

Uma maneira alternativa de separar os diversos autovalores é usar a opção output=list 

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(1.4.6)

 

Neste caso a saída é uma lista de listas com o autovalor, sua multiplicidade e o conjunto de autovetores correspondentes. O conjunto tem mais de um elemento quando o autovalor é degenerado. O primeiro autovetor é selecionado da seguinte forma 

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(1.4.7)

 

onde vecs[1][3][1] deve ser lido da seguinte maneira. vecs[1] é a primeira componente da lista vecs. vecs[1][3] é a terceira componente da lista vecs[1]. vecs[1][3][1] é o primeiro elemento do conjunto  vecs[1][3] .  

O polinômio característico é obtido com o comando CharacteristicPolynomial: 

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(1.4.8)

 

O polinômio mínimo é obtido com o comando MinimalPolynomial: 

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(1.4.9)

 

O polinômio mínimo é igual ao polinômio característico se todos os autovalores forem diferentes (multiplicidade 1), como é o caso acima. 

Manipulação Estrutural de Matrizes 

Os principais comandos para manipulação estrutural com matrizes são 

DeleteRow, DeleteColumn , Dimension, RowDimension, ColumnDimension ,      Map ,  

Row, Column ,     RowOperation, ColumnOperation ,    SubMatrix ,    Zip .           

A maioria dos nomes dos comandos acima falam por si só. As terminações ou prefixos Row e Column se referem a linha e coluna, respectivamente. Todos os comandos com prefixo Row têm seu equivalente com prefixo Column. O comando RowDimension, por exemplo, fornece o número de linhas da matriz enquanto que ColumnDimension fornece o número de colunas da matriz. Vejamos alguns exemplos dos comandos deste grupo.  

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(1.5.1)

 

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(1.5.2)

 

Podemos juntar as matrizes A e B lateralmente 

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(1.5.3)

 

ou verticalmente 

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(1.5.4)

 

Podemos extrair uma sub-matriz de uma matriz com o comando SubMatrix 

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(1.5.5)

 

Podemos multiplicar uma determinada linha de uma matriz por um escalar: 

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(1.5.6)

 

Podemos apagar uma ou mais linhas com o comando DeleteRow. 

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(1.5.7)

 

O comando Zip é equivalente ao comando zip. O comando zip com z minúsculo atua basicamente em listas enquanto que Zip com Z maiúsculo atua em matrizes e vetores. Vejamos um exemplo 

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(1.5.8)

 

O primeiro argumento do comando Zip deve ser uma função com 2 argumentos. Os valores de x  (primeiro argumento) são as componentes da matriz A, enquanto que os valores de y  (segundo argumento) são as componentes da matriz B. Se A e B têm a mesma dimensão, o resultado será uma nova matriz com a mesma dimensão. Se elas tem dimensões diferentes, a dimensão da matriz resultante vai depender de parâmetros adicionais do comando Zip. Veja o help on line neste caso. 

Cálculo Vetorial 

Os vetores linha são criados pelo comando Vector. 

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(1.6.1)

 

Por default, o vetor coluna é criado, o equivalente vetor linha é obtido com o comando 

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(1.6.2)

 

Pode-se usar uma função para calcular cada elemento do vetor (semelhante ao método usado com matrizes, porém a função deve ter um argumento apenas) 

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(1.6.3)

 

As operações aritméticas são realizadas usando os operadores usuais de soma e multiplicação. 

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(1.6.4)

 

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(1.6.5)

 

Os principais comandos do pacote LinearAlgebra relacionados com vetores são: 

CrossProduct ,     Dimension ,     DotProduct ,     IsOrthogonal ,     MatrixVectorMultiply , 

Norm ,     Normalize ,    UnitVector ,    VectorAngle ,    Zip .   

Vamos ver exemplos de alguns deles. O produto escalar é calculado com o comando DotProduct. 

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(1.6.6)

 

Se v1 for um vetor coluna, o produto escalar será calculado usando o complexo conjugado de v1, como é o caso acima. Se v1 for um vetor linha, o produto escalar será calculado usando o complexo conjugado de v2.  

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(1.6.7)

 

Note que em qualquer caso não importa se v2 seja vetor linha ou vetor coluna. Para evitar o uso de complexo conjugado deve-se usar a opção conjugate=false. 

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(1.6.8)

 

O produto exterior ou produto vetorial é calculado com o comando CrossProduct. 

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(1.6.9)

 

Por definição, o vetor v3 é ortogonal a v1 e v2, como podemos facilmente verificar 

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(1.6.10)

 

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(1.6.11)

 

ou de forma análoga, podemos verificar que o ângulo entre v1 e v3 é   

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(1.6.12)

 

O módulo de um vetor é calculado pelo comando Norm com a opção Euclidean. 

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(1.6.13)

 

O valor default da segunda opção é infinity. Neste caso a norma é definida da seguinte maneira: 

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(1.6.14)

 

ou seja, o resultado é o valor em módulo da maior componente. 

Um vetor pode ser normalizado com o comando Normalize. Como exemplo, vamos definir um vetor não normalizado e em seguida normalizá-lo. 

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(1.6.15)

 

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(1.6.16)

 

Naturalmente, o módulo do último resultado deve ser 1.  

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(1.6.17)

 

Note que a opção Euclidean deve aparecer explicitamente em todos os cálculos envolvendo módulos de vetores.  

Os comandos para calcular gradiente, divergente, rotacional e laplaciano não fazem parte do pacote LinearAlgebra. Nesse caso é necessário carregar o pacote VectorCalculus 

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Os comandos em questão são grad, diverge, curl e laplacian. Estes comandos devem ter no mínimo dois argumentos, onde o primeiro é uma função, ou melhor,  uma expressão que depende de certas variáveis, e o segundo uma lista de variáveis que representam as coordenadas. O sistema de coordenadas default é o sistema cartesiano. Vamos dar uma apelido para as expressões e , e vamos calcular o gradiente, divergente e laplaciano de funções 

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(1.6.18)

 

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(1.6.19)

 

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(1.6.20)

 

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(1.6.21)

 

O divergente e o rotacional devem ser aplicados a uma função vetorial. Note que a saída do comando Gradient é um função vetorial. 

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(1.6.22)

 

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(1.6.23)

 

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(1.6.24)

 

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(1.6.25)

 

Podemos confirmar que o divergente do rotacional é zero  

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(1.6.26)

 

e, da mesma forma, confirmar que o rotacional do gradiente é o vetor nulo 

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(1.6.27)

 

Todas estas operações podem ser feitas em sistemas de coordenadas não-cartesianos. Vamos ver um exemplo de cálculo de gradiente no sistema de coordenadas esféricas: 

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(1.6.28)

 

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(1.6.29)

 

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(1.6.30)

 

Além de coordenadas cartesianas, esféricas e cilíndricas que são as mais utilizadas, o Maple conhece mais de 40 sistemas de coordenadas em 2 e 3 dimensões. Para ter acesso a lista completa destes sistemas, pedimos ajuda da forma ?coords. 

Exercícios 

1.  Seja 

 

Calcule: 

(a)  eu o resultado esperado? 

(b)   

 

2. Resolva o sistema de equações 

 

 

 

usando o método de matrizes, ou seja, encontre a matriz M tal que M.Vector([x,y,z])=Vector([2,8,3]), calcule a matriz inversa e multiplique por Vector([2,8,3]). Verifique o resultado com solve. 

 

3. Ache duas soluções, que não sejam múltiplas uma da outra, do sistema , onde 

 

(Tente usar somente as funções do pacote LinearAlgebra.) 

 

4. (a) Use o comando BandMatrix para gerar a matriz e calcule o determinante. 

 

(b) Repita o processo para matrizes de dimensões maiores com a mesma regra de formação. Observando os resultados, faça uma hipótese da forma do determinante de uma matriz M(n) de dimensão genérica n. Verifique a sua hipótese para um matrizes de várias dimensões.  

 

5. (a) Use o comando BandMatrix para gerar a matriz . 

 

(b) Use o Maple para determinar o menor n tal que seja a matriz nula. Generalize o resultado para matriz de dimensões maiores com a mesma regra de formação. 

 

6. Use uma função de 2 argumentos para definir uma matriz M 3x3 cujos elementos são = . Ache os autovalores de M. 

7. O vetor está no espaço gerado pelas colunas da matriz ?
O núcleo de uma matriz é o espaço vetorial gerado pelos autovetores associados ao autovalor zero. O vetor dado está no núcleo da matriz? 

8. Mostre no Maple que o vetor ( é um número real) tem norma 1. 

 

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